গাণিতিক প্রত্যাশার (Mathematical Expectation) কিছু সহজ ধর্ম

গাণিতিক প্রত্যাশার (Mathematical Expectation) কিছু সহজ ধর্ম হলো:

1. রৈখিকতা (Linearity):
   যদি $X$ ও $Y$ দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল (চলক)  হয়, এবং $a$, $b$ হল দুটি ধ্রুবক সংখ্যা, তাহলে:

   $$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$$

   অর্থাৎ, গাণিতিক প্রত্যাশা যোগ বা গুণফলে সোজাসুজি ভাগ হয়।

2. যোগফল (Additivity):
   একাধিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল (চলক) একসাথে যোগ করলে, তাদের প্রত্যাশার যোগফল হবে:

   $$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$

   অর্থাৎ, একাধিক ভেরিয়েবল যোগ করলে, তাদের প্রত্যাশা আলাদাভাবে যোগ করা যাবে।

3. নেগেটিভ (Negative Expectation):
   যদি $X$ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, তবে:

   $$E(-X) = -E(X)$$

   অর্থাৎ, যদি আপনি একটি ভেরিয়েবলের ঋণাত্মক (negative) নেন, তবে তার প্রত্যাশাও ঋণাত্মক হয়ে যাবে।

4. সীমাবদ্ধতা (Boundedness):
   যদি $X$ একটি ভেরিয়েবল এবং তার মান একটি নির্দিষ্ট সীমা $M$ এর মধ্যে থাকে, তবে:

   $$|E(X)| \leq M$$

   অর্থাৎ, গাণিতিক প্রত্যাশার মান কখনোই তার আসল মানের চেয়ে বড় হবে না।

5. স্বাধীন ভেরিয়েবল (Independent Variables):
   যদি দুটি ভেরিয়েবল $X$ এবং $Y$ একে অপর থেকে স্বাধীন হয়, তবে:

   $$E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)$$

   অর্থাৎ, তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফল হবে তাদের প্রত্যাশার গুণফল।

এই ধর্মগুলো সহজভাবে বললে, গাণিতিক প্রত্যাশা অনেকটা সোজা গণনা করা যায় এবং সহজ নিয়মে কাজ করে।

বিকল্প উত্তর:

গাণিতিক প্রত্যাশার (Mathematical Expectation) কিছু সহজ ধর্ম

গাণিতিক প্রত্যাশা বা Mathematical Expectation (যাকে সাধারণত $E(X)$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়) হলো সম্ভাবনাতত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, যা কোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা দৈবচর রাশির সম্ভাব্য মানের গড় নির্ধারণ করে।

এখানে গাণিতিক প্রত্যাশার কিছু সহজ ও মৌলিক ধর্ম (Properties) তুলে ধরা হলো ব্যাখ্যাসহ:

১. রৈখিক ধর্ম (Linearity Property)

$$E(aX + b) = aE(X) + b$$

🔹 ব্যাখ্যা:

কোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$-কে যদি $a$ দ্বারা গুণ করা হয় এবং $b$ যোগ করা হয়, তাহলে তার প্রত্যাশিত মান হবে – $E(X)$ কে $a$ দিয়ে গুণ করে তারপর $b$ যোগ করলেই হবে।

🔹 উদাহরণ:

ধরি, $E(X) = 10$, তাহলে

$$E(2X + 5) = 2 \cdot 10 + 5 = 25$$

২. ধ্রুবক রাশির প্রত্যাশা (Expectation of a Constant)

$$E(c) = c$$

🔹 ব্যাখ্যা:

যদি $c$ হয় কোনো ধ্রুবক (constant), তাহলে তার প্রত্যাশিত মান হবে নিজেই। কারণ ধ্রুবক কখনো পরিবর্তন হয় না, তাই তার গড় মানও অপরিবর্তিত থাকবে।

৩. ধ্রুবক দ্বারা গুণিত রাশির প্রত্যাশা

$$E(aX) = aE(X)$$

🔹 ব্যাখ্যা:

র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে কোনো ধ্রুবক দিয়ে গুণ করলে তার প্রত্যাশিত মানও সেই ধ্রুবক দিয়ে গুণিত হয়।

🔹 উদাহরণ:

যদি $E(X) = 6$, তবে

$$E(3X) = 3 \cdot 6 = 18$$

৪. দুইটি রাশির যোগের প্রত্যাশা (Additivity Property)

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$

🔹 ব্যাখ্যা:

দুইটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের প্রত্যাশিত মান হলো তাদের প্রত্যাশিত মানের যোগফল।
এটি সত্য স্বাধীন বা নির্ভরশীল যেকোনো রাশির জন্য।

🔹 উদাহরণ:

যদি $E(X) = 5$, $E(Y) = 8$, তাহলে

$$E(X + Y) = 5 + 8 = 13$$

৫. বিয়োগের ক্ষেত্রেও একই নিয়ম (Subtraction Property)

$$E(X - Y) = E(X) - E(Y)$$

🔹 ব্যাখ্যা:

যেকোনো দুই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিয়োগফলের প্রত্যাশা হবে তাদের প্রত্যাশার বিয়োগ।

৬. স্বাধীন ভেরিয়েবলের গুণফল (Only for Independent Variables)

$$E(XY) = E(X) \cdot E(Y) \quad \text{(যদি X ও Y স্বাধীন হয়)}$$

🔹 ব্যাখ্যা:

যদি $X$ ও $Y$ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, তাহলে তাদের গুণফলের প্রত্যাশা পৃথক প্রত্যাশাগুলোর গুণফলের সমান হবে।

৭. শূন্য প্রত্যাশা (Zero Expectation)

যদি কোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানসমূহ সমানভাবে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক হয় এবং তাদের গড় শূন্য হয়, তাহলে:

$$E(X) = 0$$

🔹 উদাহরণ:

যদি $X$ এর মান হয় {–1, 0, 1} এবং প্রত্যেকটির সম্ভাবনা সমান (⅓), তাহলে

$$E(X)=(-1)\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{3}=0\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$$

উপসংহার:

গাণিতিক প্রত্যাশার এই ধর্মগুলো ব্যবহার করে:

• জটিল র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় নির্ণয় সহজ হয়

• আনুমানিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত গ্রহণ করা যায়

• অর্থনীতি, ব্যবসা, ইঞ্জিনিয়ারিং ও তথ্যবিজ্ঞানে সমস্যার সমাধান করা যায়

সার্চ কী: গাণিতিক প্রত্যাশা কাকে বলে? গাণিতিক প্রত্যাশা বলতে কি বুঝায়? বিচ্ছিন্ন দৈব চলক কি? সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক কি? গাণিতিক প্রত্যাশা বলতে কি বুঝায়? দেব চলক কি? পূরক ঘটনা কী? সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক কি? সম্ভাবনার যোগসূত্র কয়টি, সম্ভাবনার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান কত, সম্ভাবনার সূত্র, সম্ভাবনা pdf, দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি কয়টি, সম্ভাবনার সংজ্ঞা, সম্ভাবনায় কমপক্ষে বলতে কি বুঝায়, সম্ভাবনা অপেক্ষক কয়টি শর্ত মেনে চলে

ঘোষণা: এই ওয়েবসাইটে প্রকাশিত সকল লেখনি লেখক ও ওয়েব এডমিন মুহাম্মাদ আল-আমিন খান কর্তৃক সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। Bangla Articles এর কোনো লেখনি থেকে সম্পূর্ণ অথবা আংশিক কপি করে সোশ্যাল মিডিয়া ও অন্য কোনো ওয়েবসাইটে প্রকাশ করা যাবে না। কোনো লেখনি ভালো লাগলে ও প্রয়োজনীয় মনে হলে এই ওয়েবসাইট থেকেই তা পড়তে পারেন অথবা ওয়েব লিংক শেয়ার করতে পারেন। গুগল সার্চ থেকে দেখা গেছে যে- বহু লেখনি কতিপয় ব্যক্তি নিজের নামে চালিয়ে দিয়েছেন, যা সম্পূর্ণরূপে কপিরাইট আইনের লঙ্ঘন। ভবিষ্যতে আবারও এমনটি হলে প্রথমত গুগলের কাছে রিপোর্ট করা হবে ও দ্বিতীয়ত তাদের বিরুদ্ধে অবশ্যই কপিরাইট আইনের আওতায় আইনগত ব্যবস্থা নেওয়া হবে। একই সাথে সকলের জ্ঞাতার্থে জানাচ্ছি যে- Bangla Articles এ প্রকাশিত কোনো লেখনি আপনার ভালো না-ও লাগতে পারে, প্রয়োজনে আপনি এর সমালোচনা কমেন্টের মাধ্যমে করতে পারেন। বাক স্বাধীনতা, চিন্তার বহিঃপ্রকাশ করার অধিকার ও লেখালেখি করার অভ্যাসের জায়গা থেকে লেখক যা ইচ্ছা তাই লিখতে পারেন। তবে তিনি তার যেকোনো লেখনির ব্যাপারে যথেষ্ট সচেতন যাতে করে শালীনতা বজায় রাখা যায় এবং অন্যের ধর্মীয় অনুভূতি, মূল্যবোধ ও অধিকারের প্রতি যথাযথ সম্মান প্রদর্শন করা যায়। - মুহাম্মাদ আল-আমিন খান, লেখক ও ওয়েব এডমিন, Bangla Articles